Movimento Circular

 

O Movimento Circular Uniforme (MCU) acontece quando sua trajetória é uma circunferência e o módulo de sua velocidade permanece constante no decorrer do tempo. 

Em nosso cotidiano é comum observarmos o movimento realizado por ventiladores, rodas de carros e também pelo liquidificador. Todos esses são exemplos de aparelhos que utilizam o MCU.

Para analisarmos a parte teórica dessas utilizações precisamos relembrar os movimentos realizados por um móvel em trajetória retilínea.

A velocidade de um móvel constante e linear é representada pela equação a seguir, que indica a trajetória realizada pelo móvel. 
 


Equação da velocidade linear e trajetória realizada por um móvel qualquer

 

Agora, quando a velocidade do móvel ocorre de forma curvilínea (curva) ou circular teremos a análise da velocidade angular.


Análise do movimento curvilíneo

É importante observar que quando a velocidade do móvel ocorre de forma curva, é necessário analisar, além da velocidade linear, um outro tipo de velocidade presente: a velocidade angular, que é exatamente o ângulo θ, formado imaginariamente entre a ligação dos pontos da trajetória.

A representação matemática do cálculo da velocidade angular é dada pela equação:
 

Onde: 
ωm = velocidade angular do móvel
Δθ = deslocamento do móvel
Δt = tempo

Podemos concluir, então, que a velocidade angular do movimento circular uniforme é a relação existente entre o ângulo da trajetória descrito e o tempo gasto para se concluir essa descrição.

No sistema Internacional de Unidades, a velocidade angular é medida em radianos por segundo rad/s.

A junção dessas duas velocidades (linear e curvilínea) proporciona o nascimento de uma nova equação para se calcular o movimento circular.

Onde:
v = velocidade linear
ω = velocidade angular
R = raio

Dentro do estudo do movimento circular uniforme temos também a presença da aceleração centrípeta, ou seja, quando existe variação de velocidade existe aceleração.

A aceleração centrípeta está sempre direcionada para o centro da circunferência. Ela não altera o módulo da velocidade e sua representação matemática é dada pela equação:

Observe que a aceleração centrípeta analisa tanto a velocidade linear (v2), quanto a velocidade angular (ω2).

 

Vamos afirmar que: "Um carro estando com a velocidade escalar constante pode ter aceleração". O que você acha?

Esta afirmativa parece falsa, mas é verdadeira.

Esta situação acontece quando o carro está se movimentando em uma trajetória circular (fig. A).

 

 

 
Figura A - Carro em movimento circular.

 


Figura B - Vetores força centrípeta e aceleração centrípeta.

 

Neste caso o vetor velocidade varia de direção e sentido no decorrer do tempo, podendo o seu módulo permanecer constante ou não.

Quem provoca esta variação na direção do vetor velocidade?

Sabemos que para mudar qualquer característica do vetor velocidade é necessária uma força .

Esta força, denominada força centrípeta, atua na direção do raio da circunferência, buscando o centro, imprimindo ao carro uma aceleração na mesma direção e no mesmo sentido denominada aceleração centrípeta (fig. B).

No caso do carro, a força centrípeta é a força de atrito entre os pneus e a estrada. Se não existisse esta força, o carro sairia pela tangente em movimento retilíneo uniforme (posição 4 da fig. A).

Veja que esta aceleração é devida à variação à direção do vetor velocidade e não da variação do módulo do vetor velocidade.

Concluímos que a nossa afirmativa inicial é verdadeira, isto é, o carro pode estar com velocidade escalar constante e possuir uma aceleração (aceleração centrípeta), quando sua trajetória é circular.

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Movimento circular uniforme: Quando a trajetória é circular e a velocidade é constante em módulo.

Da fig. A, o carro estando em movimento circular uniforme, temos que:

 

V1 = V2 = V3 = V4 (velocidades escalares iguais)

 

 

V1  V2  V3  V4 (velocidades vetoriais diferentes)

Características do vetor aceleração centrípeta

 

Notação: ac vetor aceleração centrípeta

Direção do vetor aceleração centrípeta: a direção do raio (perpendicular ao vetor V)

Sentido do vetor aceleração centrípeta: de fora para dentro da circunferência (buscando o centro)

Módulo do vetor aceleração centrípeta: ac = V2/R

 

Demonstração da expressão ac = V2/R

 

Figura 5.2 
(A) - Movimento circular uniforme de uma partícula indo de uma posição A  B. VA = VB.
(B) - Determinação do vetor diferença V.
(C) - Medida do arco S = V t.

 

Os triângulos POQ e ACB são semelhantes porque são isósceles, tendo os ângulos dos vértices iguais. Considerando a medida do arco Vt aproximadamente igual à medida do arco corda AB, obtemos:

 

(Vt) / V = R / V

Aproximadamente, temos:

V / t = V2 / R

Esta relação será mais exata quanto menor for t, porque o arco tende para a corda e vice-versa.

Considerando t  0, no limite obtemos:

 

  ac = V2/R

módulo do vetor aceleração centrípeta

 (1)

 

Observação: Quando a velocidade escalar varia no decorrer do tempo, o movimento circular não é mais uniforme e o movimento tem, além da aceleração centrípeta, uma aceleração tangencial.

 


Aplicação numérica 1

Vamos determinar o valor da aceleração centrípeta, sabendo que o carro faz a trajetória circular com uma velocidade escalar constante igual 20,0 m/s e o raio da trajetória é igual a 100 m.

Dados: V = 20,0 m/s e R = 100 m

De (5.1) temos que:

ac = V2/R

Substituindo os valores de V e R, obtemos:

ac = 20,02/100 = 400/100

 

ac = 4,0 m/s2

 

 

Conceito de velocidade angular

A posição de um ponto em uma trajetória circular pode ser determinada por um espaço linear (arco) ou por um espaço angular (ângulo).

Quando o carro vai da posição A para a posição B, ele percorre um arco S e, simultaneamente, "varre" um ângulo  (fig.C).

 

 

Figura C - ângulo descrito e arco percorrido em um intervalo de tempo (t), quando o carro vai da posição A para B.

 

 

Velocidade angular é o ângulo ( ) percorrido em um intervalo de tempo (t).

Notação:  velocidade angular.

Expressão:

 

 

 

   = ( ) / (t)

velocidade angular

 (2)

 

onde  (ângulo descrito) é medido em radianos.

Unidade da velocidade angular (Sistema Internacional)  1 rad/s

 

 

 

Relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular

 

Você sabe que a medida de um ângulo pode ser em graus ou radianos.

 

 

 Figura D - Medida de um ângulo em radianos.

 

Para medir um ângulo em radianos (rad) basta dividir o arco compreendido entre os lados do ângulo pela medida do raio (fig. D), obtendo:

 

 

  () = ( S) / R (3)

 

Dividindo os dois membros de (C) por t, obtemos:

 

  ()/  t = ( S) / (R t) (4)

 

Como  = () / (t) e V = (S) / (t), substituindo em (D), obtemos:

 

   = V/R (5)

 

 

ou

 

  V = .R

relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular

 (6)

 

Observação: para determinar a medida de 1 rad basta considerar a medida do arco compreendido entre os lados do ângulo igual à medida do raio (fig. D), obtendo:

1 rad  57,3

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Aplicação numérica 2

Um carro com a velocidade escalar constante de 30,0 m/s faz uma trajetória circular de raio 100 m. Determinar a velocidade angular.

Dados: V = 30,0 m/s e R = 100 m

De (5.5) temos que:

 = V/R = 30,0/100

 = 0,3 rad / s

 

 

Relação entre aceleração centrípeta e velocidade angular

 

De (1) temos que:

ac = V2/R

Como V =  R (5.6), obtemos:

 

  ac = 2 R

relação entre a aceleração centrípeta e a velocidade angular

 (7)

 


Freqüência e Período

 

De um modo geral todos nós temos noção do que seja freqüência e período.

Freqüência seria o número de vezes que um fenômeno se repete em um determinado tempo, e período é o tempo que leva para o fenômeno se repetir.

Em linguagem mais específica para o movimento circular, definiremos:

Freqüência: é o número de voltas que a partícula dá por unidade de tempo

Notação: f  freqüência

Período: é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa

Notação: T  período

Pelas próprias definições temos que a freqüência é o inverso do período e vice-versa, ou seja:

 

  
f = 1/T ou T = 1/f
 (8)

 

Unidades de medida de freqüência e período (SI)

Unidade de período = unidade de tempo = 1 s

Outras unidades: 1 min, 1 h, 1 mês, 1 ano, 1 século...

Unidade de freqüência = 1/unidade de tempo = 1/s = 1 s-1 = 1 hertz (1 Hz)

Quando no movimento circular se tem uma freqüência de 10 Hz, significa que o móvel faz 10 voltas em cada segundo.

Observação: a unidade de freqüência 1rps (1 rotação por segundo), usada na prática, é equivalente a 1 Hz.

 

Relação entre a velocidade angular e a freqüência

 

Vimos que a velocidade angular é definida como sendo:

 

   = ( ) / (t) (2)

 

Quando a partícula dá uma volta completa:

 = 2  rad

t = T (período)

Substituindo em (5.2), obtemos:

 

   = (2 )/T (9)

 

Como f = 1/T, substituindo em (5.9):

 

   = 2  f

relação entre a velocidade angular e a freqüência

(10)X

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Aplicação numérica 3

Determinar o período de revolução, a freqüência e a velocidade angular de um satélite que se desloca numa órbita circular com uma velocidade escalar constante igual 8,0 km/s, ao redor da Terra. Considere o raio da Terra igual a 6370 km.

Dados: V = 8,0 km/s e R = 6370 km.

 = V/R = 8,0 / 6370 = 0,0012

  1,2 * 10-3 rad/s

 

 

De (9) temos que:

 = (2 ) / T

T = 2 /   2* 3,14 / (1,2 * 10-3)

T  5233 s

 

 

f = 1/T = 1 / 5233

f  0,19 Hz