MOVIMENTO CIRCULAR

O movimento circular uniforme (MCU) é o movimento no qual o corpo descreve trajetória circular, podendo ser uma circunferência ou um arco de circunferência. A velocidade escalar permanece constante durante todo o trajeto e a velocidade vetorial apresenta módulo constante, no entanto sua direção é variável. A aceleração tangencial é nula (a_t = 0), porém, com a aceleração centrípeta não ocorre o mesmo, ou seja, a aceleração não é nula (a_c ≠ 0). A direção da aceleração centrípeta, em cada ponto da trajetória, é perpendicular à velocidade vetorial e aponta para o centro da trajetória. O módulo da aceleração centrípeta é escrito da seguinte forma: a_c = v²/r, onde r é o raio da circunferência descrita pelo móvel.
Um corpo que descreve um movimento circular uniforme passa de tempo em tempo no mesmo ponto da trajetória, sempre com a mesma velocidade. Assim, podemos dizer que esse movimento é repetitivo, e pode ser chamado de movimento periódico. Nos movimentos periódicos existem dois conceitos muito importantes que são: frequência e período. 

Frequência: é o número de voltas que o corpo efetua em um determinado tempo(f = 1/ T). 
Período: é o tempo gasto para se completar um ciclo (T = 1/ f). 
Ao observar a definição de período e de frequência podemos dizer que o período é o inverso da frequência. 
 

Equações do Movimento Circular 
As equações que determinam o movimento circular são as seguintes: 
Posição angular: S = φ .R, onde R é o raio da circunferência. 
Velocidade angular média: ω_m = Δφ/Δt 
Aceleração centrípeta: a_c = v²/R, onde R é o raio da circunferência. 

Força Centrípeta 
Para que um móvel possa descrever o movimento circular uniforme é necessário que esteja atuando uma força sobre ele, de modo que faça com que ele mude de posição, pois se tal fato não ocorrer o móvel passaria a descrever um movimento retilíneo uniforme. Essa força tem o nome de força centrípeta, e matematicamente é descrita da seguinte forma:

F_c = m. a_c        Onde ac é a aceleração centrípeta, a_c = v²/R. Substituindo na equação acima temos:

F_c = m. v²/R   A força centrípeta é sempre direcionada para o centro da circunferência. No cotidiano existem alguns exemplos de força centrípeta como a secadora de roupas e os satélites que ficam em órbita circular em torno do centro da Terra.

Quando o movimento é circular e uniforme, o tempo gasto pelo corpo para completar uma volta é constante e em intervalos de tempo iguais o móvel retorna à mesma posição com a mesma velocidade vetorial, o movimento é periódico. Exemplos:

Período (T) de um movimento circular uniforme (MCU) – definido como sendo o tempo que o móvel demora para efetuar uma volta completa (ciclo). Como o MCU é um movimento periódico, esse tempo é constante e representado pela letra (T).

Assim, por exemplo, o período do ponteiro das horas de um relógio é 12h, o dos minutos, 1h ou 60minutos e o dos segundos, 60 segundos. O período de rotação da Terra é de 24 horas, etc. Quando expressa no Sistema Internacional de Unidades (SI), o período deve ser medido em segundos (s).

 Freqüência (f) de um MCU – definida com sendo o número de voltas completas (ciclos) que um móvel ou ponto material efetua na unidade de tempo.

Assim, por exemplo, se a hélice de um ventilador está se movendo com freqüência de 6 ciclos por segundo, cada ponto dela está efetuando duas voltas completas por segundo.

Unidades de frequência no SI – são normalmente usadas: (voltas)/s, ou (ciclos)/s, (oscilações)/s ou ainda (vibrações)/s, às quais denomina-se hertz, cujo símbolo é Hz

Utiliza-se também as unidades:

A freqüência (F) está relacionada com o período(T) por:

Velocidade escalar (V) de um MCU

 

 Para qualquer móvel em MCU, o espaço percorrido (ΔS) durante um período (Δt=T – tempo que demora para efetuar uma volta completa) será ΔS=2πR, onde R é o raio da circunferência.

ΔS=2πR e Δt=T  ---  V= ΔS/Δt  ---  V=2πR/T

 

Velocidade angular (W) de um MCU

 

 Considere um móvel em MCU de modo que no instante to sua posição seja determinada pelo ângulo de fase φ_o e num outro instante t (t > t_o) pelo ângulo de fase φ.

Assim, observa-se que, no intervalo de tempo Δt=t – t_o, o raio que acompanha o móvel em seu movimento descreveu “varreu” um ângulo Δφ = φ – φ_o.

À razão entre o ângulo descrito pelo móvel em MCU e o tempo gasto para descrevê-lo dá-se o nome de velocidade angular (W) do corpo, ou seja:

 

Se o móvel efetuar uma volta completa, o ângulo descrito será Δφ = 2π rad = 360^o e esse ângulo será descrito num tempo que é igual ao seu período T. Então:

Relação entre velocidade escalar (V) e angular (W)

 

 Na figura abaixo, tem-se:

Δφ  ---  ângulo descrito entre Δt=t – t_o  ---  ΔS  ---  comprimento do arco  ---  Δφ= ΔS/R  ---  ΔS= Δφ.R  ---  esta relação só é válida se o ângulo Δφ estiver medido em radianos (rad)  ---  dividindo ambos os membros de ΔS= Δφ.R por Δt  ---  ΔS/Δt = Δφ/ Δt.R  ---  V=W.R

Acoplamento de polias e engrenagens

 

 Pode-se interligar duas ou mais  polias através de uma correia (figura 1) ou acoplar duas ou mais engrenagens (figura 2)

Todos os pontos da correia (admitidos inextensíveis) têm a mesma velocidade escalar V que todos os pontos da periferia de cada polia, desde que não ocorra deslizamento.

O mesmo ocorre com todos os dentes da polia engrenada, que tem a mesma velocidade escalar V.

Assim, V₁=V₂  ---  W₁.R₁ = W₂.R₂  ---  2π/T₁.R₁= 2π/T₂.R₂  ---   2πf₁.R₁ =  2πf₂.R₂  

 

O que você deve saber

 Os dois carros A e B da figura mantêm-se lado a lado numa pista circular, no intervalo de tempo Δt. Seus raios nesse MCU

são, respectivamente, R_A e R_B.

O carro B terá maior velocidade (escalar, linear) V=ΔS/Δt, pois deverá percorrer maior distância ΔS para, no mesmo intervalo de tempo, poder acompanhar o carro A, ou seja,V_A>V_B.  Mas, como “varrem” o mesmo ângulo (Δφ) no mesmo intervalo de tempo, suas velocidades angulares (W= Δφ/Δt) serão iguais, ou seja, W_A=W_B.

 O trator da figura abaixo mantém velocidade escalar constante V. Observe que cada ponto da periferia das rodas da frente e de trás, possuem a mesma velocidade que a do trator, ou seja, V_f=V_t=V.

Mas, possuem velocidades angulares diferentes, pois W=2π/R e assim, W é inversamente proporcional a R, e como o raio da roda da frente é menor, ela gira mais que a maior tendo maior velocidade angular que a mesma  ---  W_f > W_t .

 

Bicicletas: Possuem coroas dentadas dianteiras (onde estão os pedais) unidas por uma corrente às coroas dentadas traseiras (ligadas ao eixo da roda traseira).

O número de voltas efetuadas pela roda traseira a cada pedalada, que corresponde a uma volta completa dos pedais da roda dentada dianteira, depende do tamanho relativo das coroas que estão ligadas pela corrente e obedecem à relação f_d.R_d=f_t.R_t, lembrando que a freqüência da roda dentada traseira (f_t) é a mesma que a da roda traseira. Assim, se você quiser manter alta velocidade, você deve acionar a coroa dianteira de maior raio com a coroa traseira de menor raio e se você quiser fazer menos esforço numa subida íngreme, você deve acionar a coroa dianteira de menor raio com a coroa traseira de maior raio (veja que nesse caso a velocidade diminui)

Função horária do MCU

 

 Num MCU a velocidade angular (W) e a escalar (V) são sempre as mesmas em qualquer intervalo de tempo. Dividindo todos os termos da equação horária do movimento uniforme (S=S_o + V.t) pelo raio R da trajetória: S/R= S_o/R + Vt/R  ---  S/R=φ  --- 

S_o/R=φ_o  ---  V/R=W  ---  φ = φ_o + W.t

A equação acima recebe o nome de equação (função) horária do MCU na forma angular, e aos termos φ e φ_o dá-se o nome de fases (ou ângulos) final e inicial, respectivamente.

 

Movimento circular uniformemente variado (MCUV)

 

Na figura abaixo o golfinho está efetuando movimento circular uniformemente retardado na subida e uniformemente acelerado na descida, ou seja, trata-se de um movimento circular uniformemente variado de equações:

 

 S = S_o + V_o.t + a.t²2  ---  dividindo por R  ---  S/R = S_o/R + (V_o.t)/R + (a/R).t^2/2  ---  

V= V_o + at  ---  V/R = V_o/R  + (a/R).t  ---  

Torricelli  ---  V² = V_o² + 2.a,ΔS  ---  (V/R)²= (V_o/R)² + 2.(a/R).Δφ  ---  

 

W=V/R  ---  λ=a/R  ---  Δφ = ΔS/R 

 

a_t=a  ---  ac=V²/R